流体の物理法則をF=maで読み解く：ポアズイユの法則と力学のアナロジー

オームの法則から広がる世界：Q = ΔP / Rf

流体力学の基本法則のひとつに、「ポアズイユの法則」があります。
これは、細い管の中を流れる流体について、圧力差 ΔP が大きいほど、流量 Q（流れる量）が多くなるという関係を表します：

$\displaystyle Q = \frac{\Delta P}{Rf}$

ここで、Q は体積流量（[m³/s]）、ΔP は圧力差（[Pa]）、Rf は流体抵抗（[Pa·s/m³]）です。

この式は、オームの法則（V = RI）や粘性抵抗の式（F = bv）と同じ構造をしています。

つまり、ポアズイユの法則は「押す力 ÷ 抵抗 = 流れ」という構造で、力学や電気回路と対応しています。
よく電流を水の流れに例えて説明されるのは、この対応関係に根拠があるからです。

流体システムに慣性（流体の質量効果）や弾性（配管や液体の圧縮性）を加味すると、
時間変化を含む微分方程式として以下のように表せます：

$\displaystyle Rf \cdot Q + If \cdot \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{Cf} \int Q \,dt = \Delta P$

これは、バネマスダンパ系（m x″ + b x′ + k x = F）やRLC回路と同じ構造です。

つまり、流量 Q を「速度」、圧力差 ΔP を「力」に対応させれば、流体も力学と同じ振る舞いをするのです。

アナロジーの視点で見れば、流体にも「慣性（If）」や「弾性（Cf）」があるのだから、
本来は F = ma 型の微分方程式が現れてもおかしくありません。

ところが実際の教科書や現場では、次のシンプルな式──ポアズイユの法則──しか見かけないことがほとんどです：

$\displaystyle Q = \frac{\Delta P}{Rf}Q=RfΔP$

これはなぜかというと、多くの実務環境では、慣性や弾性の影響がごく小さく、比例モデルだけで十分な精度が得られるからです。

ただし、流れの立ち上がりが急激なときや、流量が大きく変動する場合には、If や Cf を考慮しないと現象を正確に捉えられないこともあります。

実際の仕事でも、次のようなシーンではそれらの影響が顕著に現れます：

このような場合には、流体の質量効果や圧縮性（If, Cf）を含めたF=ma型の動的モデルが有効に働きます。

改めて動的モデル（F=ma型の微分方程式）を使わなくてもよいケースを考えてみます。

たとえば配管が長くても、流れが定常で、立ち上がりや振動が小さい場合には、慣性や弾性の影響は無視できるほど小さくなります。

こうした状況では、比例関係に基づくモデルやエネルギー保存則の方が、よりシンプルで実用的な手法となるのです。

その代表的な例が、**次に紹介する「ベルヌーイの定理」**です。

参考までに、ベルヌーイの定理は以下のような式で表されます：

$\displaystyle \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h + p = \text{constant}$

ここで：

この式は、流体が持つ運動エネルギー、位置エネルギー、圧力エネルギーの和が保存されることを示すものです。

つまり、ベルヌーイの定理はF=maを、エネルギー保存の視点から書き換えたものとも言えます。

ポアズイユの式がシンプルな比例関係で済んでいるのは、
多くの実務では慣性や弾性の影響が小さく、省略しても十分な精度が得られるからです。

しかし、実際にはその背後にF=maと同じ構造が隠れており、状況によってはその影響が表に現れることもあります。
また、ベルヌーイの定理のようなエネルギー保存の式も、運動方程式の視点から理解できるということがわかりました。

どの式が現れ、どの構造が省略されるかは、現象のスケールや目的によって変わるものです。
けれども、その根底にはつねに「力と動きの関係」という一貫した原理が流れています。

この視点を持って見渡すと、音や熱といった一見異なる現象もまた、同じ原理で説明できることが見えてきます。

他分野とのアナロジーについては、こちらの記事で詳しく解説しています。
物理法則のアナロジー一覧：F=maが示す多様な世界