回転運動にもF=maは成り立つ？トルクと慣性モーメントの関係を解説

直線運動と回転運動の対応関係

私たちがよく知る運動方程式、

F=ma

これは、質量 m の物体が加速度 a で動くときに受ける力 F を表す、物理の基本法則です。

実はこの構造は、回転運動にもそのまま対応しています。

回転系では、

T=Jα

という式が成り立ちます。ここで：

• T：トルク（回転を起こす力） [Nm]
• J：慣性モーメント（回転のしにくさ） [kg·m^2]
• α：角加速度 [rad/s^2]

つまり、質量 → 慣性モーメント、加速度 → 角加速度、力 → トルクと読み替えるだけで、回転運動にそのまま適用できるのです。

補足：慣性モーメントとは？

質量 は物体が直線運動するときの「動きにくさ」を表しますが、慣性モーメント は「回転しにくさ」を表します。

例えば、同じ重さの物体でも、その重さが中心から離れた位置にあると、回転しにくくなります。これはブランコの立ち漕ぎやハンマー投げの感覚に近いです。

• 中心に近い：回りやすい（小さい）
• 外側に重い：回りにくい（大きい）

物体の形状や質量分布によっては異なります。

🔗 形状ごとの慣性モーメント一覧はこちらが参考になります：
慣性モーメントのまとめ（三木プーリHP）

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バネマスダンパ系と回転版の比較

直線運動でよく使われるモデルに、バネ・質量・ダンパからなる系（バネマスダンパ系）があります。

これを回転運動に対応させると、以下のような運動方程式が得られます：

T=Jθ′′+cθ′+kθ

ここで：

• θ：角度 [rad]
• c：ねじりダンパ係数 [Nms/rad]
• k：ねじりバネ定数 [Nm/rad]

これは直線運動における：

F=mx′′+bx′+kx

と構造的に完全に同じであることがわかります。

ここで「ねじりバネ」や「ねじりダンパ」と難しく聞こえるかもしれませんが、簡単にいえば、位置や速度に比例して力を及ぼす“何か”と捉えてもらえればOKです。
例えば、バネや空気抵抗がその代表例ですが、 実際のモノによっては比例関係が成り立たない場合もあります。
それでも、このシンプルな式に落とし込むことで、複雑な現象も計算や設計がしやすくなるため、多くの場面で活用されています。

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単位と意味から腑に落とす

力とトルク、変位と角変位は似て非なるものですが、エネルギー（仕事）という観点から見ると、対応が見えてきます。

• 力による仕事：W=F⋅x
• トルクによる仕事：W=T⋅θ

このように、直線運動で使う公式が、そのまま回転系に置き換え可能です。

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まとめ

回転運動は、F=maの構造をそのまま保ったまま、置き換えて使えることがわかりました。これは、物理の他分野とのアナロジーを理解する第一歩でもあります。

→ T=Jαを他分野で読み解くアナロジー解説はこちら

以下に、今回扱った “回転運動” に関する対応表を再掲します。