【制御工学】組込みSEが現場で会話についていくための「伝達関数」超入門

はじめに

組込みソフトエンジニアや学生の皆さん、「制御工学」と聞いて身構えていませんか？「ラプラス変換？伝達関数？教科書を開いて3ページで閉じた」という方も多いはずです。

実は、実務でついていくために必要なポイントはほんの少ししかありません。その仕組みが1つ腹落ちできれば、今までブラックボックスだったハードウェアの動きが、自分の手で解き明かされていく感覚を体感できます。

今回はその第一歩、「伝達関数」の正体を、現場目線でどこよりも分かりやすく解き明かします。

まず、教科書にある難しい定義はすべて無視してください。 伝達関数とは、あるシステム（箱）の「入出力の関係」を数式1行で表したもの。 本当にただそれだけです。

最大のコツは、周波数＝「振動」と脳内変換すること。ウネウネした振動の入力を入れたとき、出力側にどんな振動が出てくるかを見ているだけです。

数学として解こうとせず、日常の現象に置き換えてみましょう。

お湯の温度：
シャワーのレバーを「あつい」「つめたい」と手元で高速にウネウネ動かす
➡ 湯温は追いつかず、「ぬるま湯」のまま一定になりますよね。
車のアクセル：
ペダルを1秒間に10回ブルブル動かす（※安全第一で！）
➡車体のスピードは振動せず、じわーっと一定の速度になります。
機械系なら：
バネで吊るされた玉。上の糸をウネウネ動かしたら、下の玉はどう揺れるか？
電気系なら：
抵抗とコンデンサの回路。ウネウネした電圧を入れたら、電流はどう流れるか？

難解な数式や s という記号は、これらの動きをパソコンで計算しやすくするために、ただ翻訳しているだけです。

ちなみに、上で挙げた例は、近似もありますが、すべて「1次遅れ系」と呼ばれる伝達関数で表せます。 「遅い振動には素直に追従し、早い振動はなまして一定値にする」。これが1次遅れの正体です。

システムエンジニアとしてついていくために覚えるべき伝達関数は、とりあえず2つだけです。

1次遅れ：
先ほどシャワーやアクセルで説明したように、入力の振動をなまして、遅れて出力させるイメージを持ったシステムです。
2次遅れ：
なまして遅らせる領域だけでなく、特定の振動に対して逆に入力をドカンと増幅させてしまう領域を持ったシステムです。この増幅してしまう領域を「共振点」と言います。

2次遅れのイメージが湧きやすい身近な例をいくつか挙げておきます。

最後に式の形だけ覚えればいいですが、それぞれの伝達関数を以下に示します。

– 1次遅れ系
$G(s) = \frac{K}{Ts + 1}$

$K$ （ゲイン）：最終的に出力がどれくらいの大きさになるか（倍率）。
$T$ （時定数）：目標値の応答の遅さ、マイルドさ。

– 2次遅れ系
$G(s) = \frac{K \cdot \omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}$

$\omega_n$ （固有振動数）：システムが最も震えやすい（共振する）中心の周波数。
$\zeta$ （減衰比）：共振のなまし具合。小さいほど「ツノ」が尖って大振動する

ここで、すべての周波数に対する「振動の伝わり方」を1つの絵にしたボード線図を見てみましょう。

この図のように「ゲイン」と「位相」という2つのグラフがセットで出てきます。
下の「位相」はウネウネの波のタイミングのズレ（遅れ）を指していますが、小難しいので理解は時間をかけてやっていけば十分です。

大事なのは上の「ゲイン」のグラフです。これこそが、

1次遅れ：
1/T 秒より早い動きにはシステムが追従できず、右肩下がりに「なまされていく」のが分かります。
※縦軸の「dB（デシベル）」は、20で10倍、40で100倍と覚えておけば今は十分です。
2次遅れ：
特定の周波数で、ドカーンと上に出っ張った角（ツノ）が見えますね。これが共振点です。ここに入るとシステムが激しく震え出します。

日常のイメージ（シャワーやブランコ）と、このボード線図を見比べて「腹落ち」させてみてください。

「現実のシステムには、もっと複雑な3次遅れや4次遅れもあるのでは？」と思うかもしれません。
ですが、現場ではそんな生真面目に計算しません。 どんな複雑なシステムも、ボード線図を描けば大体は1次遅れか2次遅れのどちらかに近似（割り切り）できるからです。

この2つさえ頭にあれば、グラフを見たときに「これは1次遅れっぽい波形だな」「ツノがあるから2次遅れだな」というところから、会話や対策をスタートできます。

制御工学の第一歩は、数式を解くことではありません。

実務でシステムがガタついたときに、「あ、2次遅れの共振が出てるな」と、頭の中でバネや重りの動きを体感的にイメージできるようになることです。

これができるだけで、機械、電気、制御といった様々なプロとの会話のスタートラインに立てるはずです。